作者:謝銘恩 | 《國家實驗研究院-台灣颱風洪水研究中心》副研究員

每當台灣遭受颱風侵襲時,大家都會關注各媒體提供的颱風動態消息,當然也會聽到關於各國颱風路徑預報的資訊;颱風事件結束後,則多會針對這些已發布的預報進行優劣比較,通常以颱風路徑誤差(實際觀測颱風中心位置與預報位置之間的距離)作為評估的標準。但有了實際跟預報的經緯度位置後,你知道該如何計算這兩個位置的距離嗎?

我們第一時間可能會想到:國中時學過的「平面上任意兩點距離公式」,即給定兩點A、B,由其座標(圖1)可得到距離為

然而我們所處的地球表面是個球面(事實上是稍微壓縮的球面/橢球面,赤道附近的半徑約6378公里,較極區半徑6356公里大約多了0.34%,可說是非常微小的差異),因此需要改為計算球面上兩點之間的最短距離。

目前在地球上位置的慣用表示法是以「經度、緯度」這樣一組座標,它事實上就是數學上三度空間的極座標,如圖2所示,r為與球心的距離(在本例中為地球半徑)、θ和Φ分別為經度、緯度。在平面上,我們(根據歐氏幾何)計算兩點間最短路徑是直線,那在球面上呢?圖3是我們比較習慣的地圖投影方式,在這張地圖上計算東京(Tokyo)到洛杉磯(Los Angeles)的直線距離(黃線)為9313公里,但實際上球面上最短距離為紅線的8807公里(圖4)。於黎曼幾何/球面幾何中,球面上兩點最短距離是大圓距離(great circle distance),大圓(great circle)的定義是一個通過球心的平面與此球面相交出的圓,例如赤道和通過兩極的子午線(圖5)。由球面餘弦定理,兩點(θ1, Φ1)與(θ2, Φ2)的圓心角為

此時可得到兩點間距離 d=rΔσ。在實際應用上,由於電腦只能以有限位數儲存實數,使得科學家必須推導出許多不同的變化型以精確地估計這個量,但總而言之絕非像在平面上那麼容易能運算得到。所以,以後大家若想知道中央氣象局預報準不準的話,就可以自己動手算算看囉!

圖1 平面上任意兩點之直角座標(摘自http://bossborot.blogspot.tw/2011/07/3-gps.html)
圖1 平面上任意兩點之直角座標(摘自http://bossborot.blogspot.tw/2011/07/3-gps.html)
圖2 空間中任意一點之三維極座標(摘自http://bossborot.blogspot.tw/2011/07/3-gps.html)
圖2 空間中任意一點之三維極座標(摘自http://bossborot.blogspot.tw/2011/07/3-gps.html)
圖3東京到洛杉磯的距離估計
圖3  東京到洛杉磯的距離估計(摘自http://slideplayer.com/slide/222369/)
圖4東京到洛杉磯的大圓距離
圖4 東京到洛杉磯的大圓距離(摘自http://slideplayer.com/slide/222369/)
圖5球面上大圓的實例
圖5 球面上大圓的實例(摘自http://slideplayer.com/slide/222369/)

參考資料

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83

https://zh.wikipedia.org/wiki/大圓距離

http://www.ttfri.narl.org.tw/sp/wp-content/uploads/2016/04/圖4東京到洛杉磯的大圓距離.jpghttp://www.ttfri.narl.org.tw/sp/wp-content/uploads/2016/04/圖4東京到洛杉磯的大圓距離-300x300.jpg編輯團隊文章颱風作者:謝銘恩 | 《國家實驗研究院-台灣颱風洪水研究中心》副研究員 每當台灣遭受颱風侵襲時,大家都會關注各媒體提供的颱風動態消息,當然也會聽到關於各國颱風路徑預報的資訊;颱風事件結束後,則多會針對這些已發布的預報進行優劣比較,通常以颱風路徑誤差(實際觀測颱風中心位置與預報位置之間的距離)作為評估的標準。但有了實際跟預報的經緯度位置後,你知道該如何計算這兩個位置的距離嗎? 我們第一時間可能會想到:國中時學過的「平面上任意兩點距離公式」,即給定兩點A、B,由其座標(圖1)可得到距離為 然而我們所處的地球表面是個球面(事實上是稍微壓縮的球面/橢球面,赤道附近的半徑約6378公里,較極區半徑6356公里大約多了0.34%,可說是非常微小的差異),因此需要改為計算球面上兩點之間的最短距離。 目前在地球上位置的慣用表示法是以「經度、緯度」這樣一組座標,它事實上就是數學上三度空間的極座標,如圖2所示,r為與球心的距離(在本例中為地球半徑)、θ和Φ分別為經度、緯度。在平面上,我們(根據歐氏幾何)計算兩點間最短路徑是直線,那在球面上呢?圖3是我們比較習慣的地圖投影方式,在這張地圖上計算東京(Tokyo)到洛杉磯(Los Angeles)的直線距離(黃線)為9313公里,但實際上球面上最短距離為紅線的8807公里(圖4)。於黎曼幾何/球面幾何中,球面上兩點最短距離是大圓距離(great circle distance),大圓(great circle)的定義是一個通過球心的平面與此球面相交出的圓,例如赤道和通過兩極的子午線(圖5)。由球面餘弦定理,兩點(θ1, Φ1)與(θ2, Φ2)的圓心角為 此時可得到兩點間距離 d=rΔσ。在實際應用上,由於電腦只能以有限位數儲存實數,使得科學家必須推導出許多不同的變化型以精確地估計這個量,但總而言之絕非像在平面上那麼容易能運算得到。所以,以後大家若想知道中央氣象局預報準不準的話,就可以自己動手算算看囉! 參考資料 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83 https://zh.wikipedia.org/wiki/大圓距離Typhoon and Flood Knowledge Sharing Network